Главная | Контакты | Настройки СМЕНИТЬ ПАЛИТРУ:

Главная > Книги

Справочник технолога-машиностроителя

Меню книги
Навигация
Главная » Глава 1. ТОЧНОСТЬ ОБРАБОТКИ ДЕТАЛЕЙ МАШИН
Расчет точности обработки

Методы получения размеров. Заданные раз­меры могут быть выдержаны при наладке тех­нологической системы:

индивидуальной, при которой каждую де­таль обрабатывают после новой наладки (к ней относят наладку путем пробных рабочих ходов и измерений);

партионной, называемой также способом автоматического получения размеров, при ко­тором заданную партию деталей обрабаты­вают после одной наладки; к ней относят обработку осевым инструментом (сверлами, зенкерами, развертками, протяжками), обра­ботку деталей на предварительно налаженных токарных, фрезерных и других станках. К это­му же способу относят обработку на автома­тическом оборудовании (станки с ЧПУ, станочные гибкие производственные системы и т. п.) с применением систем автоматического управления и контроля. В этом случае можно уменьшить не только допуск размера (откло­нения размера не превышают 2-40 мкм), но и допуск формы и расположения обрабаты­ваемых поверхностей (отклонения не превы­шают 5 — 20 мкм).

Различают два способа получения разме­ров заготовки:

индивидуальный, когда точность заготовок зависит от произвольного сочетания условий изготовления каждой отдельной заготовки (на­пример, для отливок - от плотности и точно­сти форм, для поковок, выполненных ковкой,— от условий ковки, от профессио­нальных навыков и качества работы операто­ра);

автоматический, когда точность заготовок определяется погрешностями регулирования, наладки соответствующего оборудования, точ­ностью изготовления инструмента, влиянием нарастающего износа инструмента (литье под давлением, получение заготовок штамповкой в штампах).

Способы получения размеров заготовок и деталей при механической обработке тесно связаны между собой. Заготовки, полученные индивидуальным способом, обычно устанавли­вают на станках с помощью выверки. Положе­ние инструмента также обеспечивают индиви­дуальным способом. Обработка на автомати­ческом оборудовании (автоматических линиях, автоматах, станках с ЧПУ, в том числе встроенных в гибкие производственные моду­ли и системы) проводится способом партион­ной наладки технологической системы. В этом случае необходимо иметь более точные заго­товки вне зависимости от программы выпуска изделий.

Эти особенности получения размеров учитывают при определении элементарных по­грешностей установки заготовок для обработ­ки, наладки технологических систем и т. п., а также при определении суммарной погрешности обработки.

Модель. Для изучения и выявления законо­мерностей процессов обработки деталей часто прибегают к их исследованию с помощью мо­делей, отражающих основные свойства объек­тов моделирования. Изучение свойств объекта моделирования с помощью анализа анало­гичных свойств его модели представляет со­бой процесс моделирования. Различают физи­ческие и математические методы моделирова­ния Физическое моделирование предназначено для исследования натурных моделей подобия, воспроизводящих объект моделирования в меньшем масштабе. Математическое моде­лирование основано на том, что реальные про­цессы в объекте моделирования описывают определенными математическими соотноше­ниями, устанавливающими связь между входными и выходными воздействиями. Мате­матическое моделирование, сохраняя основные черты протекающих явлений, основано на упрощении и схематизации. Математические модели являются моделями неполной анало­гии.

Для успешного использования модели не­обходимо, чтобы она количественно и каче­ственно верно описывала свойства объекта моделирования, т. е. она должна быть аде­кватна.

В зависимости от метода получения мате­матических соотношений различают модели: статистические, основанные на описании физи­ческих и химических явлений, и смешанные.

Модели смешанного типа для решения тех­нологических задач строят на основании опи­сания физических процессов в объекте модели­рования, однако ряд коэффициентов опреде­ляют экспериментально.

Расчет погрешности обработки детали по данному параметру (размеру, отклонениям формы, расположения и т. п.) состоит из трех этапов. На первом этапе проводят схематиза­цию реальной операции. Далее выполняют теоретический анализ операции, в результате которого устанавливают зависимости для рас­чета элементарных и суммарной погрешно­стей. На третьем этапе экспериментально про­веряют полученные соотношения.

Анализ точности с полным учетом всех факторов невозможен, поэтому при схематиза­ции операции (выборе расчетной схемы моде­ли) обосновывают возможность учета факто­ров, которые наиболее заметно влияют на рассматриваемый параметр точности обработ­ки.

Так, при расчете погрешности базирования обычно пренебрегают отклонениями формы поверхности заготовок, служащей базой. Такая схематизация часто оправдана, но не для всех операций. Например, при обработке валов, устанавливаемых в люнете, погрешности формы поверхности, используемой в качестве базы, копируются на обработанном профиле детали, поэтому расчетная схема здесь должна быть иной.

При оценке отклонений размера цилиндри­ческой поверхности, возникающей из-за упру­гих деформаций технологической системы, ограничиваются анализом влияния постоян­ной (в пределах одного оборота) составляю­щей силы резания; для объяснения механизма возникновения отклонений формы и располо­жения обработанного профиля и их оценки не­обходим анализ системы в динамике. Таким образом, вид рассматриваемого параметра точности может решительным образом ска­заться на модели процесса.

При анализе точности обработки техноло­гическую систему обычно рассматривают как линейную динамическую систему. Это позво­ляет получить явные решения в замкнутой форме. Термин «динамическая система» указывает на то, что процессы в этой системе протекают во времени. Динамическая система может быть нелинейной, но поскольку иссле­дуется точность обработки, при которой сме­шения невелики, то систему можно рассматри­вать как линейную.

Внешние возмущения, действующие на вхо­де в систему или в элементы системы, назы­вают входными переменными, сигналами или функциями. На выходе наблюдают выходные переменные, сигналы или функции. При рабо­те системы каждой комбинации входных функ­ций [вектору x(t)] соответствует определенная и единственная комбинация выходных функ­ций [вектор у(t)]. Закон, по которому x(t) со­ответствует y(t), называют оператором; обо­значим его через А:

y(t) = Ax(t).

Система линейна, если линеен ее оператор. Оператор А называют линейным, если при любых числах n, с1,...,сn, и любых функциях x1(t),..., xn(t) справедливо равенство

,

которое отражает свойства однородности и независимости действия факторов (наложи­мости воздействий, суперпозиции, аддитивно­сти). Понятие однородности означает, что ре­акция системы на любой сигнал, умноженный на некоторую постоянную, равна этой по­стоянной, умноженной на реакцию системы на входной сигнал. В соответствии со свойством суперпозиции реакция системы (перемещения, напряжения и деформации) на сумму входных сигналов (сил или тепловых воздействий) не зависит от порядка приложения сил или те­пловых полей и равна сумме реакций на каждый отдельно взятый входной сигнал. При этом подразумевают, что модуль упругости E и температурный коэффициент линейного расширения α, не зависят от напряжения и температуры.

Упрощение расчетной схемы, рассмотрение ее как линейной с присущим ей свойством су­перпозиции открывают широкие возможности для упрощения расчетов динамических систем. Возможность рассмотрения технологической системы как линейной позволяет разработать наглядную и логичную теорию точности, основанную на дифференцированном анализе простейших элементов технологического про­цесса или операции. При этом полностью рас­крывается физическая сущность этих элемен­тов. Обязательным условием является воз­можность описания этих элементов аналитиче­ски.

Действующее на технологическую систему воздействие в большинстве случаев имеет чет­ко выраженный период колебаний Т. Так, про­извольно заданное внешнее силовое воздей­ствие P(t) (или тепловое) представляют сово­купностью некоторых однотипных составляю­щих; далее определяют эффект действия одной из составляющих. Общий эффект от действия силы P(t) образуется как соответ­ствующая сумма частных. Применяют раз­личные варианты разложения силового воз­действия. Чаще всего силу представляют в виде конечной суммы гармонических соста­вляющих (применяют разложение в ряд Фурье):

.

Теория точности построена на разумном сочетании дифференцированного подхода к изучению отдельных типовых простейших эле­ментов и обязательного комплексного охвата всех сторон, всех операций и переходов обра­ботки, транспортирования заготовок при обработке, контроля заготовок и деталей. Тре­бование комплексности важно при анализе комплексно автоматизированных производств (автоматических линий, гибких производственных систем).

Требование комплексности реализуется в нескольких направлениях: учетом совокупно­сти основных факторов, расчетом всех параме­тров качества детали (изделия), необходи­мостью расчета процесса как единой последовательности переходов и операций (предпола­гая обязательное сохранение и учет эффекта действия и результатов предшествующих эта­пов обработки), учетом возможности обработ­ки многих партий деталей, использованием многих экземпляров оборудования, приспосо­блений, инструмента, решением вопросов точ­ности, производительности и экономичности.

При обработке деталей на станке осущест­вляются несколько рабочих процессов (реза­ние, трение), воздействующих на упругую систему, вызывая смещение деталей, образую­щих подвижное соединение, в котором проте­кает рабочий процесс. Но наблюдается и обратное воздействие. Например, при сме­щениях инструмента и заготовки изменяется глубина и сила резания. Это заставляет рас­сматривать динамическую систему как замк­нутую с отрицательной обратной связью. В замкнутой системе силы резания являются внутренними воздействиями. Проанализируем влияние на систему внешних воздействий. Пе­риодические силы возникают из-за погрешно­стей зубчатых передач, неуравновешенности вращающихся деталей, передаваемых фунда­менту станка от другого оборудования, и т. п.; внешние воздействия на процесс резания свя­заны с переменностью сечения срезаемого слоя, скорости резания при обтачивании тор­цов и т. п.

Введение понятия о замкнутости системы является основным при анализе виброустойчи­вости и других вопросов. В ряде случаев нали­чие обратной связи не учитывают и тогда силы резания считают внешним силовым фак­тором.

Применяемые при анализе математические методы зависят от вида системы. Систему, ко­торая на одно и то же входное воздействие всегда отвечает определенным выходным воз­действием, называют детерминированной. В том случае, когда свойства оператора системы не зависят от времени, оператор и си­стему называют стационарными. В стационар­ной системе при любом сдвиге во времени входного возмущения без изменения его формы выходное воздействие претерпевает та­кой же сдвиг во времени без изменения своей формы. Если при одном входном воздействии выходное воздействие различно, систему назы­вают недетерминированной; если это выход­ное воздействие подчиняется явно выра­женным статистическим (вероятностным) за­кономерностям, то систему Называют стоха­стической.

Цель расчета. При расчетах точности обра­ботки можно:

оценить возможное рассеяние заданного параметра (вычислить суммарную погреш­ность обработки);

установить долю элементарных погрешно­стей, разработать мероприятия, снижающие влияние доминирующих погрешностей на точ­ность обработки (принимают, например, дру­гие варианты базирования, закрепления дета­лей; вместо многорезцовой обработки нежест­ких деталей вводят обработку на гидрокопи­ровальных станках и т. п.);

регламентировать продолжительность об­работки деталей до принудительной подре­гулировки или смены режущего инструмента, наиболее изнашивающихся деталей приспосо­бления и т. п.

Наиболее сложно вычислить суммарную погрешность обработки. Это объясняется не­достаточным количеством данных по элемен­тарным погрешностям обработки, отсут­ствием частных методик по расчету техноло­гических процессов на точность. Поэтому технологу в некоторых случаях приходится самостоятельно разрабатывать план, анализи­ровать результаты теоретических и экспери­ментальных исследований. Обычно ограничи­ваются решением двух последних задач, так как уже это дает большой эффект в повыше­нии точности обработки, особенно для авто­матизированного производства. Для операций, выполняемых на токарных, расточных и дру­гих станках, расчет может быть выполнен в полном объеме. В наиболее сложных случаях для снижения трудоемкости расчет целесо­образно выполнять на вычислительных маши­нах.

Основные элементарные погрешности обра­ботки. При обработке детали кроме необходи­мого для формирования поверхности движе­ния инструмента возникают добавочные отно­сительные смешения детали (заготовки) и инструмента с номинальной траектории. В результате обработанная поверхность будет иметь размер, форму и расположение, от­личные от заданных.

Смещения отсчитывают от определенной базы - так называемой поверхности отсче­та—в установленном направлении. Обычно систему отсчета связывают с номинальной обрабатываемой поверхностью. Для удобства за поверхность отсчета можно принимать и иную поверхность, эквидистантно располо­женную относительно номинальной. Напри­мер, при анализе погрешностей обработки по­верхностей вращения за поверхность отсчета принимают идеально расположенную ось де­тали.

Появление дополнительных смещений эле­ментов технологической системы связано с действием на систему различных тепловых, силовых и иных факторов. Элементарные по­грешности обработки характеризуют смеще­ния одного или нескольких элементов техно­логической системы под влиянием одного или нескольких факторов.

Различают следующие основные погрешно­сти:

∆εу — установки заготовок в приспособле­нии с учетом колебания размеров баз, кон­тактных деформаций установочных баз заго­товки и приспособления, точности изготовле­ния и износа приспособления;

у — колебания упругих деформаций техно­логической системы под влиянием нестабиль­ности нагрузок (сил резания, сил инерции и др.), действующих в системе переменной жесткости;

н — наладки технологической системы на выдерживаемый размер с учетом точностной характеристики применяемого метода налад­ки;

и — в результате размерного износа режу­щего инструмента;

∑∆ст — станка, влияющие на выдержи­ваемый параметр, с учетом износа станка за период эксплуатации;

∑∆т - колебания упругих объемных и кон­тактных деформаций элементов технологиче­ской системы вследствие их нагрева при реза­нии, трения подвижных элементов системы, изменения Температуры в цехе. Такое предста­вление об элементарных погрешностях являет­ся условным и обосновано главным образом удобством их расчета. В некоторых случаях можно определять отдельно погрешности, влияющие на точность обработки. Погреш­ность измерения в общем случае учитывают в составе погрешности наладки, но при значи­тельном влиянии на общую погрешность ее также рассматривают отдельно.

На суммарную погрешность обработки мо­гут влиять также остаточные напряжения от предшествующей обработки или присущие данной операции факторы (например, скорость и продолжительность съема материала при чистовых и отделочных операциях).

Расчет суммарной погрешности обработки. Расчетные соотношения оценки точности па­раметра устанавливают путем суммирования факторов, учитываемых при анализе данного параметра (размера, отклонения формы, рас­положения поверхностей). Закон суммирова­ния определяется природой этих погрешно­стей.

Примем, что исследуемый параметр детали Y представляет собой функцию нескольких переменных Хn: Y=f(X1, X2, Х3,...,Хn). Для идеальных условий соответственно имеем

Y0 = f(X10,…,Xi0,…Xn0).

В реальных условиях значения параметров отличаются от идеальных (номинальных) на абсолютную погрешность i = (X — Х0)i. Вы­ходной параметр также может иметь некото­рую погрешность. При расчете линейных си­стем предполагается, что отклонения параме­тров малы и взаимно независимы. Произведе­ниями погрешностей пренебрегаем. Функцию Y = f(Xi) в окрестностях номинальных значе­ний параметров разложим в ряд Тейлора. Ограничиваясь учетом только погрешности в первой степени, получим выражение для рас­чета абсолютной погрешности выходного па­раметра Y:

.

Индексы при частных производных  показы­вают, что значения производных при Xi равны среднему значению  или математическому ожиданию MXi (идеальному, номинальному значению).

Отношение f/∂Xi = Si называют абсолют­ной чувствительностью функции цепи к изме­нению параметра, или коэффициентом влия­ния, передаточным отношением.

При расчете наихудшего случая элемен­тарные погрешности суммируют по методу максимума-минимума:

.

Приведенное выражение удобно для расче­та, когда все параметры имеют одинаковые единицы измерения. При разных единицах из­мерения параметров целесообразно пользо­ваться относительными погрешностями:

.

Повышение точности обработки может быть достигнуто повышением точности ка­ждого параметра и сокращением числа входных параметров, влияющих на отклоне­ние выходного параметра; уменьшением чувствительности системы к входным воздей­ствиям и условиям обработки; применением автоматической системы компенсации всех или доминирующих входных параметров.

Рассмотренный метод расчета не учиты­вает реальных комбинаций параметров, поэто­му он дает завышенное в 1,5 — 10 раз значение погрешности выходного параметра.

При вероятностном методе расчета откло­нения Y, ∆i рассматривают как случайные величины.

Для любого числа параметров i = n систе­матическая погрешность, равная математиче­скому ожиданию М(Y) = m, определяется по соотношению

,

где Т— допуск; α — коэффициент относитель­ной асимметрии; E — координата середины заданного поля допуска.

Если между погрешностями, рассматри­ваемыми попарно, например между ∆j и ∆i, су­ществует стохастическая (вероятностная) связь с коэффициентом корреляции rji, то суммарная погрешность обработки

,

где m — число попарно стохастически свя­занных параметров.

Формула действительна для определения абсолютной и относительной суммарной по­грешностей.

Коэффициент относительного рассеяния, характеризующий отношение поля рассеяния погрешности при нормальном законе распре­деления к действительному полю рассеяния, обозначим Кi, где i — индекс элементарной погрешности. Для нормального закона распреде­ления Кi = 1; для закона равной вероятности Кi = 1,73; при композиции закона равной ве­роятности и нормального закона Ki = 1,2 ÷ 1,5 (Кi = 1,2 при l/6σ = 1, где l — приращение размера вследствие переменной систематиче­ской погрешности; σ — среднее квадратическое отклонение; Ki = 1,5 при l/6σ = 3); для законов Симпсона Кi = 1,22; Релея Кi = 1,097 и Макс­велла Ki = 1,13.

Элементарные погрешности, изменяющие­ся во времени t, являются случайными функ­циями времени (например, погрешность, свя­занная с износом инструмента). Тогда

.

Более точный результат может быть полу­чен при применении аппарата случайных функ­ций.

Часто при расчетах Si = 1; если погрешно­сти независимы и не зависят от времени,

.

Пользуясь приведенной зависимостью, по­грешность диаметра цилиндра рассчитывают по формуле

.

Элементарное смещение центра обрабаты­ваемого профиля ∆εy, возникающее при уста­новке детали в приспособления и из-за про­странственной погрешности приспособления, при этом не учитывают.

Погрешности формы в продольном сече­нии могут быть учтены отдельным слагаемым ∑∆ф путем суммирования его с погрешностью диаметрального размера, вычисленной для определенного поперечного сечения.

Для линейных размеров, координирующих положение обрабатываемого профиля относи­тельно другой поверхности детали,

.

При расчетах по последним двум форму­лам можно принять К1 = К2 = К3 = 1 и К4 = К5 = К6 = 1,73.

При расчетах ∆ часто удобнее анализиро­вать не отдельные элементарные погрешности, а комплексы погрешностей. Например, при установке деталей на пальцах с зазором вы­числяют комплексную погрешность, учиты­вающую точность базового отверстия и уста­новочного пальца приспособления. Жесткость и отжатия узлов токарного станка определяют с учетом деформации в стыках отверстие — центр станка и т. п.

Приведенное выше описание вероятностно­го метода суммирования позволяет получить достоверные значения m и . Однако в не­которых случаях данных для подобного ана­лиза недостаточно, поэтому ограничиваются приближенной оценкой суммарной погрешно­сти, принимая Кi = 1 и ∆ = 1/К ∙ .

Метод квадратичного суммирования дает заниженную до 6 раз суммарную погрешность выходного параметра.

В указанных выше формулах коэффициент 1/К (К — коэффициент относительного рассея­ния выходного параметра) корректирует сум­марную погрешность для заданной гарантиро­ванной надежности Рr:

Рr...      0,70        0,80       0,90        0,95

1/K   0.347      0.427     0.548      0.683

Pr     0.98        0.9973   0.9995    0.99999

1/K  0.775        1.000     1.167      1.470

Иногда суммарную погрешность опреде­ляют смешанным методом расчета. Прини­мают, что некоторые параметры изменяются детерминированно, поэтому суммирование их выполняют по методу максимума-минимума; для других учитываемых факторов применяют вероятностное суммирование.

Некоторые погрешности, например по­грешности результата измерения, погрешности линейного позиционирования станков с ЧПУ и других, рассчитывают с учетом неисключенных систематических и случайных погреш­ностей. Методику определения суммарной по­грешности устанавливает ГОСТ 8.207 — 76. Группу результатов прямых измерений с многократными наблюдениями подвергают статистической обработке: исключают грубые погрешности (для результатов наблюдений, которые можно считать принадлежащими нормальному распределению,— по методике, изложенной в ГОСТ 11.002 — 73) и известные систематические    погрешности; вычисляют среднее арифметическое исправленных резуль­татов наблюдений, принимаемое за результат измерения ; вычисляют оценку среднего квадратического отклонения σ() результата из­мерения;

,

где Xii-й результат наблюдения; i = 1 ÷ n. Далее проверяют гипотезу о том, что ре­зультаты наблюдений принадлежат нормаль­ному распределению (уровень значимости q принимают 10—2%). При числе результатов наблюдений n > 50 проверку ведут по крите­рию χ2 Пирсона или ω2 Мизеса — Смирнова (ГОСТ 11.006-74); при 50 > n > 15 - по со­ставному критерию (ГОСТ 8.207—76); при n ≤ 15 проверку не делают. Излагаемую мето­дику можно применять, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат нор­мальному распределению.

Доверительные границы ε случайной соста­вляющей погрешности результата измерения (без учета знака) находят с помощью коэффи­циента Стьюдента t (доверительную вероят­ность принимают р = 0,95; в некоторых слу­чаях р = 0,99 и выше):

ε = tS().

Вычисляют доверительные границы неисключенной (неисключенных остатков) система­тической погрешности результата измерения. При суммировании составляющие этой по­грешности рассматривают как случайные величины. При отсутствии данных о виде рас­пределения случайных величин их распределе­ние принимают за равномерное. При этом условии границы неисключенной систематиче­ской погрешности (без учета знака)

где θi — граница i-й неисключенной системати­ческой погрешности; К - коэффициент, опре­деляемый принятой доверительной вероят­ностью р. При р = 0,95 принимают K = 1,1; при р = 0,99 и m > 4 принимают К = 1,4. Доверительную вероятность для вычисления гра­ницы θ принимают так же, как и при вычисле­нии ε.

Расчет завершается вычислением довери­тельных границ погрешности результата изме­рения ∆. Возможны три случая.

Случай 1. При θ/S() < 0,8 погрешностями θ по сравнению с S() пренебрегают и прини­мают, что граница погрешности результата измерения ∆ = ε = tS().

Случай 2. При θ/S() > 0,8 погрешностью S() по сравнению с θ пренебрегают и при­нимают ∆ = θ. Погрешность при этих допуще­ниях не превышает 15%.

Случай 3. Указанные неравенства не вы­полняются. Границы погрешности результата измерения допускается вычислять по формуле

∆ = KS,

где К - коэффициент, зависящий от соотноше­ния случайной и неисключенной систематиче­ской погрешностей;

,

S — оценка суммарного среднего квадратического результата измерения;

.

Выше среднее квадратическое отклонение суммы неисключенных систематических по­грешностей обозначено

.

При косвенных измерениях величины X, являющейся функцией (ГОСТ 8.381-80) X = F(Y1, Y2, ..., Ym), оценка среднего квадрати­ческого отклонения результата косвенных из­мерений

,

где Si(i) — оценка среднего квадратического отклонения результата измерения Yi.

Граница неисключенной систематической погрешности Yi измерения величины Yi

Расчет ∆ ведут далее по указанным выше формулам, при этом учитывают все неисключенные систематические составляющие θi, где i = l, 2,...,N.

Эффективным способом вычисления сум­марной погрешности является статистическое моделирование, при котором используют ЭВМ (методы Монте-Карло). При этом методе определяют псевдослучайные значения факторов и с помощью ЭВМ погрешность выход­ного параметра. Статистические свойства си­стемы оценивают путем многократного по­строения процесса. Метод допускает про­извольное распределение параметров. Метод Монте-Карло применяют для систем массово­го производства; он может быть легко запро­граммирован, но при этом требуется относи­тельно большое время счета.

Аналитическое представление реальной по­верхности позволяет более четко выявить за­коны суммирования отклонений размера и формы поверхности. Различают номи­нальные геометрические поверхности, имею­щие предписанные чертежом формы и раз­меры, без каких бы то ни было неровностей и отклонений, и действительные (реальные) по­верхности деталей. Понимая под профилем линию пересечения поверхности плоскостью, ориентированной определенным образом, различают также номинальный и действительный профили детали.

При исследовании точности обработки де­талей с номинальной цилиндрической поверх­ностью широко используют методы спек­тральной теории неровностей и других геоме­трических параметров.

Введем понятие о текущем размере как о радиусе-векторе, равном расстоянию от точ­ки на реальном профиле до геометрического центра номинального профиля детали. Оче­видно, что в общем случае радиус-вектор R за­висит   от угловой координаты φ точки и координаты z, направленной вдоль оси: R = F (φ, z).

Если номинальный радиус поверхности обозначить как Ro, то функция f(φ, z), изобра­жающая погрешность (абсолютная погреш­ность R), в общем случае (при 0 ≤ zl), где l — длина поверхности) характеризует отклонение от цилиндричности f(φ, z) = R Ro = ∆R, а в поперечном сечении (при z = zi) — отклонение от круглости; f(φ) = R R0 = ∆R.

Функцию погрешности поперечного сече­ния приближенно можно представить в виде ряда Фурье с конечным числом членов k = n:

или

,

где αk, bk, ck - коэффициенты ряда Фурье; k — порядковый номер составляющей гармо­ники.

Контур поперечного сечения удовлетворяет условию замкнутости; период равен : f(φ + 2π) = f(φ).

Коэффициенты ряда Фурье

;

Между амплитудой k-й гармоники ck и коэффициентами ak и bk, а также начальной фазой φk существуют зависимости:

ak = ckcosφk;

bk = cksinφk;

ck = ;

tgφk = bk / ak;

c0 = a0 = .

Члены разложения имеют явный физиче­ский смысл. Нулевой член, т. е. величина со/2, равен среднему значению функции на период Т = . Эта величина характеризует отклоне­ние собственно размера, являясь постоянной (независимой от угловой координаты φ) соста­вляющей текущего размера. Первый член раз­ложения c1cos(φ + φ1) характеризует отклоне­ние расположения реального и номинального профилей (эксцентриситет с амплитудой с1 и фазой φ1. Следующие члены ряда Фурье ха­рактеризуют; c2cos(2φ + φ2) — овальность, c3cos(3φ + φ3)  — огранку с трехвершинным профилем и т. п.

Таким образом, члены ряда при k = 1 ÷ р характеризует спектр отклонений формы дета­ли в поперечном сечении: последующие члены ряда — волнистость и при достаточно боль­ших значениях k — шероховатость поверхно­сти. Аналогичный метод может быть приме­нен к профилю цилиндрической детали.

Изложенная методика позволяет проанали­зировать отклонения собственно размера (R или 2∆R = ∆D) формы и т. д., рассматри­ваемые как систематические отклонения. Ме­тодику можно использовать при рассмотрении детерминированных систем. Однако в общем случае амплитуды и фазы отклонений являют­ся случайными величинами. Вероятностные методы суммирования отклонений для попе­речного сечения номинально цилиндрической поверхности рассмотрены ниже.


Главная > Книги